Halaman
C.Materi Pembelajaran2.1 Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari saat duduk di SMP. Saat ini kita akan perdalam kajian, pemahaman, dan jangkauan pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah pelajari sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini adalah upayamu untuk menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, serta berdiskusi dengan teman, mengajukan pertanyaan kepada guru dan teman kelompok. Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-permasalahan tersebut akan menjadi bahan inspirasi menyusun model-model matematika yang ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, akan dijadikan bahan abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan linear tiga variabel.Masalah 2.1Cermatilah masalah berikut!Petani di Daerah Tapanuli (Sumatera Utara) Mata pencaharian rakyat di Daerah Tapanuli pada umumnya bekerja sebagai petani padi dan palawija, karyawan perkebunan sawit, karet, dan cokelat. Walaupun ada juga yang bekerja sebagai pedagang (khususnya yang tinggal di daerah wisata Danau Toba). Namun sekarang, ada permasalahan yang dihadapi para petani padi di Kecamatan Porsea Kabupaten Toba Samosir. Hal ini terkait pemakaian pupuk yang harganya cukup mahal. Contoh permasalahannya adalah sebagai berikut.Matematika43
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK44Sumber: https://upload.wikimedia.orgGambar 2.1 Persawahan padiPak Panjaitan memiliki dua hektar sawah yang ditanami padi dan sudah saatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis pupuk yang harus disediakan, yaitu Urea, SS, TSP. Ketiga jenis pupuk inilah yang harus digunakan para petani agar hasil panen padi maksimal. Harga tiap-tiap karung pupuk berturut-turut adalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00. Pak Panjaitan membutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi.Pemakaian pupuk Urea 2 kali banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan?Menurut kamu, kira-kira apa tujuan masalah ini dipecahkan? Strategi apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut? Jika kamu mengalami kesulitan silakan berdiskusi dengan teman atau bertanya kepada guru. Sebagai arahan/petunjuk pengerjaan masalah, ikuti pertanyaan-pertanyaan berikut.1) Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan banyak pupuk yang digunakan untuk setiap jenisnya dan hubungan pemakaian antarjenis pupuk?2) Bagaimana kamu menggunakan variabel untuk menyatakan hubungan harga setiap jenis pupuk dengan dana yang tersedia?
Matematika453) Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi aljabar?4) Adakah kesulitan yang harus kamu diskusikan dengan teman atau bertanya kepada guru untuk menentukan hubungan antarvariabel, melakukan manipulasi aljabar, dan kepastian strategi yang kamu pilih?5) Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?6) Berapa karung pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan untuk setiap jenisnya? Alternatif PenyelesaianDiketahui: - Tiga jenis pupuk yaitu Urea, SS, TSP. Harga per karung setiap jenis pupuk Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00.- Banyak pupuk yang dibutuhkan 40 karung.- Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak dari pupuk SS.- Dana yang tersedia Rp4.020.000,00.Ditanyakan: Banyaknya pupuk (karung) yang diperlukan untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan.Misalkan: x adalah banyak jenis pupuk Urea yang dibutuhkan (karung)y adalah banyak jenis pupuk SS yang dibutuhkan (karung)z adalah banyak jenis pupuk TSP yang dibutuhkan (karung)Berdasarkan informasi di atas diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut.x + y + z = 40 (2.1)x = 2y(2.2)75.000x + 120.000y + 150.000z = 4.020.000 (2.3)
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK46Langkah 1Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.1), ribuan (000) dieliminasi lebih dahulu sehingga diperoleh x = 2y dan x + y + z = 40 ⇒ 2y + y + z = 40⇒ 3y + z = 403y + z = 40 (2.4)Langkah 2Substitusikan Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.3), sehingga diperoleh x = 2y dan 75x + 120y + 150z = 4.020 ⇒ 75(2y) + 120y + 150z = 4.020 ⇒ 270y + 150z = 4.020 27y + 15z = 402 (2.5)Gunakan metode eliminasi terhadap Persamaan (2.4) dan Persamaan (2.5).3y + z = 40 × 15 45y + 15z= 60027y + 15z = 402 × 1 ⇒27y + 15z= 402 18y= 198 Jadi, 18y = 198 atau y = 11 dan diperoleh x = 2y = 2(11) = 22maka x + y + z = 4022 + 11 + z = 40z = 40 – 33 = 7Dengan mensubstitusi x = 22 dan y = 11 ke Persamaan (2.1) jadi, diperoleh z = 7.Jadi, nilai x = 22, y = 11, dan z = 7 atau banyak pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan dengan uang yang tersedia adalah 22 karung Urea, 11 karung SS, dan 7 karung pupuk TSP.Masalah 2.2Nenek moyang kita memiliki keahlian seni ukir (seni pahat). Mereka dapat membuat berbagai jenis patung dan ornamen-ornamen yang memiliki
Matematika47nilai estetika yang cukup tinggi. Pak Wayan memiliki keterampilan memahat patung yang diwarisi dari kakeknya. Ia selalu bekerja dengan dibantu dua anaknya, yaitu I Gede dan Putu yang sedang duduk di bangku sekolah SMK Jurusan Teknik Bangunan. Berbagai hasil ukirannya dapat dilihat dan dibeli di daerah wisata, terutama di daerah wisata Bali.Sumber: http://e-kuta.comGambar 2.2 Ukiran, patung, dan ornamenSuatu ketika Pak Wayan mendapat pesanan untuk membuat 3 ukiran patung dan 1 ornamen rumah dari seorang turis asal Belanda dengan batas waktu pembuatan diberikan selama 5 hari. Pak Wayan dan Putu dapat menyelesaikan pesanan di atas dalam waktu 7 hari. Jika Pak Wayan bekerja bersama I Gede, mereka dapat menyelesaikan pesanan dalam waktu 6 hari. Karena Putu dan I Gede bekerja setelah pulang sekolah, mereka berdua membutuhkan waktu 8 hari untuk menyelesaikan pesanan ukiran tersebut. Dapatkah pesanan ukiran diselesaikan/terpenuhi, jika Pak Wayan dibantu kedua anaknya dengan batas waktu yang diberikan? Sebelum kamu menyelesaikan masalah, koordinasi pengetahuan dan keterampilan yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan dan struktur-struktur yang belum diketahui. Dalam menyelesaikan masalah di atas, langkah-langkah penyelesaiannya dapat dilihat dalam beberapa pertanyaan berikut.
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK481) Bagaimana kamu menentukan kecepatan Pak Wayan, Putu, dan I Gede bekerja menyelesaikan satu jenis pesanan ukiran tersebut?2) Dapatkah kamu menentukan hubungan tiap-tiap kecepatan untuk menyelesaikan pekerjaan dalam bentuk persamaan?3) Apa yang kamu temukan dari hubungan-hubungan tersebut? Adakah kaitannya dengan pengetahuan yang kamu miliki dengan melakukan manipulasi aljabar?4) Adakah variabel yang harus kamu tentukan nilainya? Bagaimana caranya, apakah prinsip analogi (cara yang mirip) dapat digunakan ketika kamu menentukan nilai variabel pada sistem persamaan dua variabel?5) Bagaimana hubungan antara konsep jarak dan kecepatan dalam menentukan lama waktu yang digunakan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan?6) Adakah jawaban permasalahan yang kamu temukan?Alternatif PenyelesaianDiketahui: Pesanan pembuatan ukiran patung dan ornamen rumah dengan batas waktu 5 hari.Waktu yang dibutuhkan membuat patung dan ornamen adalahPak Wayan dan Putu selama 7 hariPak Wayan dan I Gede selama 6 hariPutu dan I Gede selama 8 hariMisalkan: Waktu yang dibutuhkan (satuan hari) Pak Wayan adalah xWaktu yang dibutuhkan (satuan hari) Putu adalah yWaktu yang dibutuhkan (satuan hari) I Gede adalah zBerarti waktu yang diperlukan Pak Wayan, Putu, dan I Gede untuk menyelesaikansatu set pesanan, masing-masing adalah 1x, 1y, dan 1z.
Matematika49•Pak Wayan dan Putu membutuhkan waktu 7 hari untuk menyelesaikan 1 unit pesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan 71x+ 71y = 1 ⇒1x+ 1y = 17 (2.6)•Pak Wayan dan I Gede membutuhkan waktu 6 hari untuk menyelesaikan 1 unit pesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan 61x+ 61y = 1 ⇒1x+ 1z = 16(2.7)•Putu dan I Gede membutuhkan waktu 8 hari untuk menyelesaikan 1 unit pesanan ukiran. Hal ini dapat dimaknai dengan 81y+ 81z = 1 ⇒1y+ 1z = 18 (2.8)•Kemudian carilah tiga persamaan linear yang saling terkait dari Persamaan (2.6), (2.7), dan (2.8) di atas dengan memisalkan p = 1x, q = 1y, dan r = 1z. •Carilah nilai p, q, dan r dengan memilih salah satu metode yang telah dipelajari sebelumnya. Sebagai alternatif pilihan gunakan metode campuran eliminasi dan substitusi.Dengan menerapkan metode eliminasi pada Persamaan (2.6) dan (2.7) diperoleh7p + 7q = 1 × 6 42p + 42q = 66p + 6r = 1 × 7 42p + 42r= 7 42q – 42r= –1 42q – 42r = –1 (2.9)Dengan menerapkan metode eliminasi pada Persamaan (2.8) dan (2.9) diperoleh8q + 8r = 1 × 42 336q + 336r= 4242q – 42r = –1 × 8 336q – 336r= –8 672r= 50 672r = 50, sehingga diperoleh r = 50672
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK50r = 50672 disubtitusikan ke persamaan 8q + 8r = 1, sehingga 8q + ×508=1672 8q + 400672= 1 8q = 1 – 400672 8q = −672400672672 8q = 272672⇒ q:8⇒×272272 1672672 8 diperoleh q = 34672q = 34672 disubtitusikan ke persamaan 7p + 7q = 1 diperoleh ×3423877=7 +=1672672pp−2381:7672p= = ×=434 162672 7672p = 62672. Sebelumnya telah dimisalkan bahwa p = 1x dan p = 62672⇒x = 67262 = 10,84.
Matematika51q = 1y dan q = 34672⇒y = 67234 = 19,76.r = 1z dan r = 50672⇒z = 67250 = 13,44. Karena x, y, dan z berturut-turut menyatakan waktu yang dibutuhkan Pak Wayan, Putu, dan Gede untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran. Jika bekerja secara individual, maka Pak Wayan dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 10,84 hari, Putu dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 19,76 hari, dan I Gede dapat menyelesaikan sendiri pesanan dalam waktu 13,44 hari. Jadi, waktu yang diperlukan Pak Wayan dan kedua anaknya untuk menyelesaikan 1 set pesanan ukiran patung dan ornamen, jika mereka bekerja secara bersama-sama adalaht = 1623450 + + 672672672 = 672146t = 4,6Waktu yang diberikan turis adalah 5 hari. Berdasarkan perhitungan waktu untuk menyelesaikan keempat ukiran tersebut adalah 4,6 hari, maka pekerjaan (pesanan) tersebut dapat diterima dan dipenuhi.•Ingat kembali pengertian sistem persamaan linear dua variabel yang telah kamu pelajari sebelumnya dan cermati pula persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3) pada langkah penyelesaian Masalah 2.1 dan Masalah 2.2. Temukan sistem persamaan linear tiga variabel pada langkah penyelesaian Masalah 2.1 dan Masalah 2.2.•Dari penyelesaian Masalah 2.1diperoleh sistem persamaan linear 7p + 7q = 1 6p + 6r = 1 8q + 8r = 1 (2.10)
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK52•Dari penyelesaian Masalah 2.2 diperoleh sistem persamaan linear x + y + z = 1 x = 2y75.000x + 120.000y = 150.000z = 4.020.000 (2.11)Dengan demikian, dapat didefinisikan sebagai berikut.Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel.Definisi 2.1NotasiPerhatikan persamaan lineara1x + b1y + c1z = d1(2.12)a2x + b2y + c2z = d2(2.13)a3x + b3y + c3z = d3(2.14)Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalaha1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3(2.15)dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3, x, y, dan z∈R, dan a1, b1, dan c1tidak sekaligus ketiganya 0 dan a2, b2, dan c2 tidak sekaligus ketiganya 0, dan a3, b3, dan c3 tidak sekaligus ketiganya 0.x, y, dan z adalah variabela1, a2, a3 adalah koefisien variabel x.b1, b2, b3 adalah koefisien variabel y.c1, c2, c3 adalah koefisien variabel z.d1, d2, d1, d1 adalah konstanta persamaan.
Matematika53Untuk lebih memahami definisi di atas, pahami contoh dan bukan contoh berikut ini. Berikan alasan, apakah sistem persamaan yang diberikan termasuk contoh atau bukan contoh sistem persamaan linear dua variabel atau tiga variabel?Contoh 2.1Diketahui tiga persamaan 1x + 1y + 1z = 2, 2p + 3q – r = 6, dan p + 3q = 3.Ketiga persamaan ini tidak membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, sebab persamaan 1x + 1y + 1z = 2 bukan persamaan linear. Jika persamaan 1x + 1y + 1z = 2 diselesaikan, diperoleh persamaan z(x + y) + xy = 2xyz yangtidak linear. Alasan kedua adalah variabel-variabelnya tidak saling terkait.Contoh 2.2Diketahui dua persamaan x = –2; y = 5; dan 2x – 3y – z = 8. Ketiga persamaan linear tersebut membentuk sistem persamaan linear tiga variabel, karena ketiga persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentukx + 0y + 0z = –20x + y + 0z = 52x – 3y – z = 8dan variabel-variabelnya saling terkait. Selanjutnya perhatikan beberapa sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut.1. Diberikan SPLTV 2x + 3y + 5z = 0 dan 4x + 6y + 10z = 0. Sistem persamaan linear ini memiliki lebih dari satu penyelesaian. Misalnya, (3, –2, 0), (–3, 2, 0), dan termasuk (0, 0, 0). Selain itu, kedua persamaan memiliki suku konstan nol dan grafik kedua persamaan adalah berimpit. Apabila penyelesaian suatu SPLTV tidak semuanya nol, maka SPLTV itu memiliki
Kelas X SMA/MA/SMK/MAK54penyelesaian yang tidak trivial.2. Diektahui SPLTV 3x + 5y + z = 0, 2x + 7y + z = 0, dan x – 2y + z = 0. Sistem persamaan linear ini memiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu untuk x = y = z = 0. Apabila suatu SPLTV memiliki himpunan penyelesaian (x, y, z) = (0, 0, 0), maka SPLTV tersebut memiliki penyelesaian trivial (x = y = z = 0).Dua sistem persamaan linear tiga variabel tersebut di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel. Sebuah SPLTV dengan semua konstanta sama dengan nol disebut SPLTV homogen. Bila salah satu konstantanya tidak nol, maka SPLTVtersebut tidak homogen. SPLTV yang homogen memiliki dua kemungkinan, yaitu (1) hanya memiliki penyelesaian yang trivial atau (2) memiliki penyelesaian nontrivial selain penyelesaian trivial. Coba tuliskan definisi SPLTV yang homogen dan coba berikan contoh SPLTV yang homogen, selain contoh tersebut di atas.